[중1 수학] 자연수의 분류(1, 소수, 합성수) 거듭제곱의 뜻

1. 소수와 합성수

• 소수의 뜻
• 합성수의 뜻
• 거듭제곱의 뜻

 

1. 소수와 합성수

소수의 뜻 : 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수
합성수의 뜻 : 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수

소수

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소수는 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수이다.

그러면 약수란? 약수는 나누어 떨어지는 수이다. 즉, 나머지가 0인 수이다.

2는 1로 나누면 나머지가 0이고, 2를 2로 나누면 나머지가 0이다.

즉, 2의 약수는 1과 2이다.

그러면 3의 약수는 무엇일까?

3은 1로 나누면 나머지가 1이고, 3을 2로 나누면 나머지가 1이고, 3을 3으로 나누면 나머지가 0이다.

즉, 3의 약수는 1과 3이 된다.

이번에는 4의 약수를 구해보자.

4는 1로 나누면 나머지가 0이고, 2로 나누면 나머지가 0이다. 3으로 나누면 나머지가 1이고, 4로 나누면 나머지가 0이다.

즉, 4의 약수는 1,2,4라고 할 수 있다.

다시 정리해보면

2의 약수는 1,2

3의 약수는 1,3

4의 약수는 1,2,4

5의 약수는 1,5

6의 약수는 1,2,3,6

7의 약수는 1,7

8의 약수는 1,2,4,8

9의 약수는 1,3,9

10의 약수는 1,2,5,10이 된다.

이 자연수 중에서 1과 자기자신만을 약수로 갖는 수는

2,3,5,7이다. 이런 수들을 소수라고 부른다. 이 소수들의 공통점은 약수가 2개이다.

또한, 소수가 아닌 수들을 합성수라고 부른다.

합성수들의 공통점은 무엇일까? 약수가 2개보다는 많을 것이라는 것이다. 즉, 약수의 개수가 3개 이상이다.

소수는 prime number로 가장 중요한 수이다.

소수는 왜 중요할까?

소수는 1을 제외한 약수가 자기 자신뿐인 수이므로 (1을 제외한) 다른 수로는 절대 나누어지지 않는다. 

다른 수로는 절대로 나누어지지 않는 특별한 수이다.

이 소수들을 이용해서 합성수들을 찾을 수 있다.

4=2×2,    6=2×3,    8=2×2×2,    9=3×3,    10=2×10 

위와 같은 합성수는 소수들의 곱으로 표현할 수 있다.

즉, 1과 소수만 있으면 곱으로 나머지 자연수를 모두 만들어 낼 수 있는 것이다.

 

1인 소수인가? 합성수인가?

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소수와 합성수의 뜻에서 1을 제외한 자연수 중이라는 조건이 있다.

그러면 1은 소수인가? 자연수인가?

1은 소수도 자연수도 아니다.

1의 약수는 1로 1과 자기자신이라고 할 수 있다.

이렇게 생각하면 소수일 듯 하다.

수학자들은 왜 1을 소수라고 정하지 않은 것일까?

그 이유는 소인수분해에서 살펴보자.

 

자연수의 분류

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약수의 개수에 따라서 자연수를 크게 3가지로 분류할 수 있다.

1	소수	합성수
특별한 수	1과 자기자신만을 약수로 가지는 소수	여러 소수들의 곱으로 이루어진 수
약수 1개	약수 2개	약수 3개 이상
1	2,3,5,7,…	4,6,8,…

 

합성수 탐색

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합성수는 소수들의 곱으로 나타낼 수 있다.

예를 들면 4=2×2, 6=2 ×3, 8=2 ×2 ×2, 9=3 ×3, 10=2 ×5, 12=2 ×2 ×3, 14=2 ×7, 15=3 ×5, 16=2 ×2 ×2 ×2이다.

여기에서 

16=2 ×2 ×2 ×2

을 살펴보자.

같은 수를 여러 번 곱했다. 이 얼마나 번거로운 일인가?

그래서 이를 간단히 나타낼 수 있게 수학자들이 약속을 했다. 지금까지 보지 못했던 새로운 방법이다.

같은 수를 거듭거듭 곱해놓았으니 이를 거듭제곱이라 칭하자 했고, 2를 4번 곱했으니 다음과 같은 방법으로 나타내자고 약속하였다.

새로운 모양이 나왔으니 새로 이름을 지어주었다. 밑과 지수로 이름을 지었다.